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問題は以下の通りです。 (1) $x$ は実数とするとき、「$x = -1 \implies x^2 = 1$」の命題の逆をつくりなさい。選択肢の中から選びましょう。 (2) (1)の解答について、その命題の真偽を調べなさい。偽の場合は反例も答えなさい。

代数学命題論理逆真偽反例
2025/5/22

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。
(1) xx は実数とするとき、「x=−1  ⟹  x2=1x = -1 \implies x^2 = 1」の命題の逆をつくりなさい。選択肢の中から選びましょう。
(2) (1)の解答について、その命題の真偽を調べなさい。偽の場合は反例も答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) 命題「P  ⟹  QP \implies Q」の逆は「Q  ⟹  PQ \implies P」です。したがって、与えられた命題「x=−1  ⟹  x2=1x = -1 \implies x^2 = 1」の逆は「x2=1  ⟹  x=−1x^2 = 1 \implies x = -1」となります。選択肢の中からこれに該当するものを探すと、イとなります。
(2) 命題「x2=1  ⟹  x=−1x^2 = 1 \implies x = -1」の真偽を調べます。x2=1x^2 = 1 を満たす xx は x=1x = 1 または x=−1x = -1 です。したがって、x2=1x^2 = 1 であっても x=−1x = -1 とは限りません。例えば、x=1x = 1 のとき、x2=1x^2 = 1 ですが、x=−1x = -1 ではありません。したがって、この命題は偽です。反例は x=1x = 1 です。

3. 最終的な答え

(1) イ
(2) 偽。反例：x=1x = 1

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