与えられた式 $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2a^2c^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2a^2c^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$ を並び替えて、$(a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$とします。

この式は、次のように変形できます。

$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$ または $(a^2 - b^2 + c^2)^2 - 4a^2c^2$ または $(-a^2 + b^2 + c^2)^2 - 4b^2c^2$

ここでは $(-a^2 + b^2 + c^2)^2 - 4b^2c^2$ を使って計算を進めます。

これは、 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、因数分解できます。

$A = -a^2 + b^2 + c^2$

$B = 2bc$

とすると、

$(-a^2 + b^2 + c^2 + 2bc)(-a^2 + b^2 + c^2 - 2bc)$

$= (-a^2 + (b^2 + 2bc + c^2))(-a^2 + (b^2 - 2bc + c^2))$

$= (-a^2 + (b+c)^2)(-a^2 + (b-c)^2)$

$= ((b+c)^2 - a^2)((b-c)^2 - a^2)$

さらに、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を適用します。

$= (b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)$

$= (a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)$

$= (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$