初項1、公差3の等差数列を、1個、2個、3個...と群に分けて考える。 (1) 第n群の最初の数を求める。 (2) 第n群に含まれる数の和を求める。 (3) 148が第何群の何番目の数であるかを求める。

1. 問題の内容

初項1、公差3の等差数列を、1個、2個、3個...と群に分けて考える。

(1) 第n群の最初の数を求める。

(2) 第n群に含まれる数の和を求める。

(3) 148が第何群の何番目の数であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

数列全体の第$k$項を$a_k$とする。

$a_k = 1 + (k-1)3 = 3k - 2$

第$n$群の最初の数は、第$(1 + 2 + ... + (n-1) + 1)$項である。

$1 + 2 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、第$n$群の最初の数は数列全体の第$\frac{(n-1)n}{2} + 1$項である。

よって、第$n$群の最初の数は

$a_{\frac{(n-1)n}{2} + 1} = 3(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 2 = \frac{3n(n-1)}{2} + 3 - 2 = \frac{3n^2 - 3n}{2} + 1$

$a_{\frac{(n-1)n}{2} + 1} = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

(2) 第n群に含まれる数の和を求める。

第n群にはn個の数がある。

第n群の最初の数は$\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$である。

公差は3なので、第n群の数列は初項$\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$, 公差3, 項数nの等差数列である。

等差数列の和の公式より、第n群に含まれる数の和は、

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = \frac{n}{2} (2(\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}) + (n-1)3)$

$S_n = \frac{n}{2} (3n^2 - 3n + 2 + 3n - 3) = \frac{n}{2} (3n^2 - 1) = \frac{3n^3 - n}{2}$

(3) 148が第何群の何番目の数であるかを求める。

数列全体の第k項が148であるとすると、

$3k - 2 = 148$

$3k = 150$

$k = 50$

148は数列全体の第50項である。

第n群までの項数の和は$\frac{n(n+1)}{2}$である。

$\frac{n(n+1)}{2} \geq 50$となる最小のnを求める。

$n(n+1) \geq 100$

$n^2 + n - 100 \geq 0$

$n=9$とすると、$9(10) = 90 < 100$

$n=10$とすると、$10(11) = 110 > 100$

よって、148は第10群に含まれる。

第9群までの項数は$\frac{9(10)}{2} = 45$

148は第10群の$50 - 45 = 5$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の数: $\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

(2) 第n群に含まれる数の和: $\frac{3n^3 - n}{2}$

(3) 148は第10群の5番目の数