数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 5n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める。

## 問題237 (1) の解答

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 5n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、以下の公式を利用します。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1}$ (for $n \geq 2$)

まず、$a_1$ を求めます。

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$

次に、$n \geq 2$ のときの $a_n$ を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)]$

$a_n = (2n^2 + 5n) - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5]$

$a_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5)$

$a_n = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3)$

$a_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$

$a_n = 4n + 3$

この式が $n = 1$ のときも成り立つか確認します。

$a_1 = 4(1) + 3 = 7$

これは最初に求めた $a_1$ と一致するため、すべての $n$ に対して $a_n = 4n + 3$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 4n + 3$