以下の数列の一般項 $a_n$ を求めます。 (1) 2, 3, 5, 8, 12, ... (3) 3, 4, 8, 17, 33, ...

はい、承知しました。数列の問題ですね。以下の数列 (1) と (3) の一般項を求めます。

1. 問題の内容

以下の数列の一般項 $a_n$ を求めます。

(1) 2, 3, 5, 8, 12, ...

(3) 3, 4, 8, 17, 33, ...

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を考えます。数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = 5 - 3 = 2$

$b_3 = 8 - 5 = 3$

$b_4 = 12 - 8 = 4$

となるので、$b_n = n$ と推測できます。したがって、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

$n=1$ のとき $a_1 = (1 - 1 + 4)/2 = 2$ なので、$n \ge 1$ で成り立ちます。

(3) 階差数列を考えます。数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_1 = 4 - 3 = 1$

$b_2 = 8 - 4 = 4$

$b_3 = 17 - 8 = 9$

$b_4 = 33 - 17 = 16$

となるので、$b_n = n^2$ と推測できます。したがって、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 3 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 18}{6}$

$n=1$ のとき $a_1 = (2 - 3 + 1 + 18)/6 = 18/6 = 3$ なので、$n \ge 1$ で成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

(3) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 18}{6}$