問題238の(1)では、数列 $\frac{1}{1\cdot3}, \frac{1}{2\cdot4}, \frac{1}{3\cdot5}, \dots$ の初項から第$n$項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

問題238の(1)では、数列 $\frac{1}{1\cdot3}, \frac{1}{2\cdot4}, \frac{1}{3\cdot5}, \dots$ の初項から第$n$項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この数列の第$k$項 $a_k$ は $\frac{1}{k(k+2)}$ と表せます。

次に、この分数を部分分数分解します。

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$ とおき、両辺に $k(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+2) + Bk$ となります。

$k = 0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -2$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$ となります。

求める和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$

$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\right]$

$= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}\right)$

$= \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$