$a = b$ という等式から、変形を繰り返すことで $1 = 2$ という誤った結論に至る過程において、どの変形に誤りがあるかを特定し、その理由を説明する問題です。ただし、$a, b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$とします。

1. 問題の内容

$a = b$ という等式から、変形を繰り返すことで $1 = 2$ という誤った結論に至る過程において、どの変形に誤りがあるかを特定し、その理由を説明する問題です。ただし、$a, b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$とします。

2. 解き方の手順

順番に各ステップの変形を検証します。

ステップ1: $a = b$ (前提条件)

ステップ2: $ab = b^2$ (両辺に $b$ をかける。$b \neq 0$ なので問題ない)

ステップ3: $ab - a^2 = b^2 - a^2$ (両辺から $a^2$ を引く。問題ない)

ステップ4: $a(b - a) = (b + a)(b - a)$ (左辺を $a$ で、右辺を因数分解。問題ない)

ステップ5: $a = b + a$ (両辺を $(b-a)$ で割る。しかし、$a = b$ なので、$b - a = 0$ であり、0 で割ることはできない)

ステップ6: $a = 2a$ (ステップ5から$a=b$より$a=a+a=2a$。問題ない)

ステップ7: $1 = 2$ (両辺を $a$で割る。問題ない)

誤りはステップ5への変形で発生しています。$a=b$より、$b-a = 0$となるため、ステップ4からステップ5へ進む際に、0 で割ってはいけないというルールを犯しています。

3. 最終的な答え

誤りがある変形は ④ です。理由は、$a = b$ より、$b - a = 0$ であるため、④から⑤への変形で両辺を $(b - a)$ で割ることは、0 で割ることに相当し、数学的に許されないからです。