与えられた連立一次方程式 $\begin{cases} 2x + y + z = 9 \\ x + 4y + z = 9 \\ x + y + 2z = 8 \end{cases}$ について、 (1) 左辺の係数から作られる行列式 $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ の値を求めよ。 (2) 連立一次方程式の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} 2x + y + z = 9 \\ x + 4y + z = 9 \\ x + y + 2z = 8 \end{cases}$

について、

(1) 左辺の係数から作られる行列式 $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ の値を求めよ。

(2) 連立一次方程式の解をクラメルの公式を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $\Delta$ の値を計算する。

$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4\cdot2 - 1\cdot1) - 1(1\cdot2 - 1\cdot1) + 1(1\cdot1 - 4\cdot1) = 2(8-1) - 1(2-1) + 1(1-4) = 2(7) - 1(1) + 1(-3) = 14 - 1 - 3 = 10$

(2) クラメルの公式を用いて解を求める。

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 9 & 1 & 1 \\ 9 & 4 & 1 \\ 8 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 9(4\cdot2 - 1\cdot1) - 1(9\cdot2 - 8\cdot1) + 1(9\cdot1 - 4\cdot8) = 9(8-1) - 1(18-8) + 1(9-32) = 9(7) - 1(10) + 1(-23) = 63 - 10 - 23 = 30$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 9 & 1 \\ 1 & 9 & 1 \\ 1 & 8 & 2 \end{vmatrix} = 2(9\cdot2 - 1\cdot8) - 9(1\cdot2 - 1\cdot1) + 1(1\cdot8 - 9\cdot1) = 2(18-8) - 9(2-1) + 1(8-9) = 2(10) - 9(1) + 1(-1) = 20 - 9 - 1 = 10$

$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 1 & 8 \end{vmatrix} = 2(4\cdot8 - 9\cdot1) - 1(1\cdot8 - 9\cdot1) + 9(1\cdot1 - 4\cdot1) = 2(32-9) - 1(8-9) + 9(1-4) = 2(23) - 1(-1) + 9(-3) = 46 + 1 - 27 = 20$

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{30}{10} = 3$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{10}{10} = 1$

$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{20}{10} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\Delta = 10$

(2) $x = 3, y = 1, z = 2$