$ \sqrt{2} $ が無理数であることを利用して、$a, b$ が有理数のとき、$a+b\sqrt{2}=0$ ならば $a=b=0$ であることを証明する問題です。証明の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを利用して、$a, b$ が有理数のとき、$a+b\sqrt{2}=0$ ならば $a=b=0$ であることを証明する問題です。証明の空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$a+b\sqrt{2} = 0$ で $b \ne 0$ であると仮定します。

$a+b\sqrt{2}=0$ より、$\sqrt{2} = -\frac{a}{b}$ となります。

ここで、 $a$ と $b$ は有理数なので、$-\frac{a}{b}$ も有理数です。

すると、$\sqrt{2}$ は有理数となり、$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾します。

したがって、$b=0$ となります。

このとき、$a + b\sqrt{2} = 0$ より、$a + 0 \cdot \sqrt{2} = 0$ なので、$a = 0$ となります。

よって、$a+b\sqrt{2}=0$ ならば $a=b=0$ であることが示されました。

ア：$b \ne 0$

イ：$-\frac{a}{b}$

ウ：$0$

3. 最終的な答え

ア：$b \ne 0$

イ：$-\frac{a}{b}$

ウ：$0$