与えられた数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。今回は、(1)の数列：2, 3, 5, 8, 12, ...　について解きます。

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。今回は、(1)の数列：2, 3, 5, 8, 12, ...　について解きます。

2. 解き方の手順

数列の階差数列を考えます。

元の数列を $\{a_n\}$ とすると、階差数列 $\{b_n\}$ は $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義されます。

まず、与えられた数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 2 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 3 = 2$

$b_3 = a_4 - a_3 = 8 - 5 = 3$

$b_4 = a_5 - a_4 = 12 - 8 = 4$

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は 1, 2, 3, 4, ... となり、これは $b_n = n$ であることがわかります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、階差数列を用いて次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ (for $n \geq 2$)

$a_1 = 2$ であり、$b_k = k$ なので、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 2 + \frac{n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{4 + n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、初項と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$