数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。問題は4つありますが、ここでは(1)と(3)を解きます。 (1) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$ (3) $3, 4, 8, 17, 33, \dots$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。問題は4つありますが、ここでは(1)と(3)を解きます。

(1) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$

(3) $3, 4, 8, 17, 33, \dots$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列は $3-2 = 1$, $5-3 = 2$, $8-5 = 3$, $12-8 = 4$, $\dots$ となります。

この階差数列は $1, 2, 3, 4, \dots$ なので、これは等差数列であり、一般項は $n$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるために、階差数列の和を利用します。$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

ここで $a_1 = 2$ であり、$b_k = k$ です。

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 + \frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{n^2 - n}{2} = \frac{4 + n^2 - n}{2} = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、これは数列の最初の項と一致します。

よって、$a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

(3) の解き方：

与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列は $4-3 = 1$, $8-4 = 4$, $17-8 = 9$, $33-17 = 16$, $\dots$ となります。

この階差数列は $1, 4, 9, 16, \dots$ なので、これは平方数の数列であり、一般項は $n^2$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるために、階差数列の和を利用します。$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

ここで $a_1 = 3$ であり、$b_k = k^2$ です。

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 3 + \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = 3 + \frac{(n-1)(2n^2-n)}{6} = 3 + \frac{2n^3 - n^2 - 2n^2 + n}{6} = 3 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{18 + 2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 18}{6}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2 - 3 + 1 + 18}{6} = \frac{18}{6} = 3$ となり、これは数列の最初の項と一致します。

よって、$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 18}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

(3) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 18}{6}$