4次の正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた各項の係数につける符号を求める問題です。 (1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ (2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ (3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

1. 問題の内容

4次の正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた各項の係数につける符号を求める問題です。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

2. 解き方の手順

行列式の符号は、各項の行番号と列番号の置換の符号によって決まります。

行番号は1, 2, 3, 4と固定されているので、列番号の置換を考えます。置換の符号は、互換の回数が偶数なら正、奇数なら負となります。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ の列番号の置換は (3, 2, 4, 1) です。

この置換を基本置換 (1, 2, 3, 4) に戻すための互換の回数を数えます。

(3, 2, 4, 1) → (3, 2, 1, 4) (3と1を交換)

(3, 2, 1, 4) → (1, 2, 3, 4) (3と1を交換)

(1, 2, 3, 4) (2と3を交換)

(3,2,4,1)-> (1,2,4,3) (1,2,3,4)に戻すためには、(3, 2, 4, 1)->(1, 2, 4, 3) -> (1,2,3,4)

(3, 2, 4, 1) を (1, 2, 3, 4) に並び替える互換の回数は、(3,1), (4,1), (3,4) の3回です。

したがって符号は $(-1)^3 = -1$ です。

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ の列番号の置換は (2, 3, 1, 4) です。

(2, 3, 1, 4) → (1, 3, 2, 4) (2と1を交換)

(1, 3, 2, 4) → (1, 2, 3, 4) (3と2を交換)

互換の回数は2回なので、符号は $(-1)^2 = +1$ です。

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$ の列番号の置換は (2, 4, 1, 3) です。

(2, 4, 1, 3) → (1, 4, 2, 3) (2と1を交換)

(1, 4, 2, 3) → (1, 2, 4, 3) (4と2を交換)

(1, 2, 4, 3) → (1, 2, 3, 4) (4と3を交換)

互換の回数は3回なので、符号は $(-1)^3 = -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) +1

(3) -1