与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 - (a+b)x - 2(a+b)^2$ (2) $(x-y)^2 - 4(x-y)z + 4z^2$ (3) $(x-y)(x-y+7) + 10$ (4) $(2x-3y)^2 - (3x-2y)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 - (a+b)x - 2(a+b)^2$

(2) $(x-y)^2 - 4(x-y)z + 4z^2$

(3) $(x-y)(x-y+7) + 10$

(4) $(2x-3y)^2 - (3x-2y)^2$

2. 解き方の手順

(1)

$A = a+b$ と置くと、

$x^2 - Ax - 2A^2$ となります。

これは $x$ についての二次式なので、因数分解すると、

$x^2 - Ax - 2A^2 = (x-2A)(x+A)$

$A = a+b$ を元に戻すと、

$(x - 2(a+b))(x + (a+b)) = (x-2a-2b)(x+a+b)$

(2)

$A = x-y$ と置くと、

$A^2 - 4Az + 4z^2$ となります。

これは $A$ と $z$ についての二次式なので、因数分解すると、

$A^2 - 4Az + 4z^2 = (A-2z)^2$

$A = x-y$ を元に戻すと、

$(x-y - 2z)^2$

(3)

$A = x-y$ と置くと、

$A(A+7) + 10$ となります。

展開すると、

$A^2 + 7A + 10$

これは $A$ についての二次式なので、因数分解すると、

$A^2 + 7A + 10 = (A+2)(A+5)$

$A = x-y$ を元に戻すと、

$(x-y+2)(x-y+5)$

(4)

$(2x-3y)^2 - (3x-2y)^2$ は $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して因数分解できます。

$(2x-3y + 3x-2y)(2x-3y - (3x-2y)) = (5x-5y)(2x-3y-3x+2y)$

$= (5x-5y)(-x-y)$

$= -5(x-y)(x+y)$

$= -5(x^2-y^2)$

$= 5(y^2-x^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2a-2b)(x+a+b)$

(2) $(x-y-2z)^2$

(3) $(x-y+2)(x-y+5)$

(4) $5(y^2-x^2)$