与えられた式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ を計算し、できるだけ簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$ を計算し、できるだけ簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の $\sqrt{3}+\sqrt{2}+1$ を有理化するために、$\sqrt{3}+\sqrt{2}-1$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)}$

次に、分母を計算します。 $(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)$ は $(A+1)(A-1)$ の形をしており、$A^2 - 1$ となります。ここで、$A = \sqrt{3}+\sqrt{2}$ です。

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 - 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 1 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 - 1 = 4 + 2\sqrt{6}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)}{4+2\sqrt{6}}$

分子を展開します。

$\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1) = \sqrt{6} + 2 - \sqrt{2}$

よって、式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{6}+2-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{6}}$

さらに有理化するため、$4-2\sqrt{6}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{(\sqrt{6}+2-\sqrt{2})(4-2\sqrt{6})}{(4+2\sqrt{6})(4-2\sqrt{6})}$

分母を計算します。

$(4+2\sqrt{6})(4-2\sqrt{6}) = 4^2 - (2\sqrt{6})^2 = 16 - 4(6) = 16 - 24 = -8$

分子を展開します。

$(\sqrt{6}+2-\sqrt{2})(4-2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} + 8 - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{36} - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{12} = 4\sqrt{6} + 8 - 4\sqrt{2} - 12 - 4\sqrt{6} + 4\sqrt{3} = -4 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$

よって、式は次のようになります。

$\frac{-4 - 4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{-8} = \frac{-4(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{-8} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2}$