与えられた2次対称行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ を直交行列を用いて対角化する。

1. 問題の内容

与えられた2次対称行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ を直交行列を用いて対角化する。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

ここで、$I$ は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 - \lambda & 4 \\ 4 & 6 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 4 \\ 4 & 6-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-\lambda)(6 - \lambda) - (4)(4) = \lambda^2 - 6\lambda - 16 = 0$

$(\lambda - 8)(\lambda + 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 8$ と $\lambda_2 = -2$ である。

(2) 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 8$ のとき、$(A - 8I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-8x + 4y = 0$ より、 $y = 2x$ となる。

したがって、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる。(スカラー倍しても良い)

これを正規化すると、$u_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる。

$\lambda_2 = -2$ のとき、$(A - (-2)I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 4y = 0$ より、$x = -2y$ となる。

したがって、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。(スカラー倍しても良い)

これを正規化すると、$u_2 = \frac{1}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

(3) 直交行列 $P$ を作成する。

$P = (u_1 \ u_2) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

(4) 対角行列 $D$ を作成する。

$D = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

したがって、$A = PDP^{-1}$ となる。$P$が直交行列なので、$P^{-1} = P^T$。

3. 最終的な答え

直交行列は $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

対角行列は $D = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$