写像 $f_1$ は $xy$ 平面上の点を直線 $y=x$ に関して対称な点に移す写像、写像 $f_2$ は $xy$ 平面上の点を直線 $y=\sqrt{3}x$ に関して対称な点に移す写像とする。 (1) $f_1((2,1))$ を求めよ。 (2) $f_1 = f_A$ を満たす2次正方行列 $A$ を求めよ。 (3) $f_2 = f_B$ を満たす2次正方行列 $B$ を求めよ。 (4) $AB$ を求めよ。 (5) $f_{AB}$ は原点のまわりを反時計回りに $\theta$ ラジアンの回転を行う線形変換である。$\theta$ を求めよ。ただし $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

写像 $f_1$ は $xy$ 平面上の点を直線 $y=x$ に関して対称な点に移す写像、写像 $f_2$ は $xy$ 平面上の点を直線 $y=\sqrt{3}x$ に関して対称な点に移す写像とする。

(1) $f_1((2,1))$ を求めよ。

(2) $f_1 = f_A$ を満たす2次正方行列 $A$ を求めよ。

(3) $f_2 = f_B$ を満たす2次正方行列 $B$ を求めよ。

(4) $AB$ を求めよ。

(5) $f_{AB}$ は原点のまわりを反時計回りに $\theta$ ラジアンの回転を行う線形変換である。$\theta$ を求めよ。ただし $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $f_1((2,1))$ は点 $(2,1)$ を直線 $y=x$ に関して対称な点に移す写像であるから、$(1,2)$ となる。

(2) 直線 $y=x$ に関する対称移動を表す行列 $A$ を求める。

点 $(1,0)$ は $(0,1)$ に移り、点 $(0,1)$ は $(1,0)$ に移るから、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 直線 $y = \sqrt{3}x$ に関する対称移動を表す行列 $B$ を求める。

直線 $y = \sqrt{3}x$ は $x$ 軸から $\pi/3$ だけ回転した直線である。

$\begin{pmatrix} \cos(2\pi/3) & \sin(2\pi/3) \\ \sin(2\pi/3) & -\cos(2\pi/3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

(4) $AB$ を計算する。

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$

(5) $f_{AB}$ は原点のまわりを反時計回りに $\theta$ ラジアン回転する回転行列であるから、

$AB = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$

$\cos \theta = \sqrt{3}/2, \sin \theta = -1/2$ より、 $\theta = 11\pi/6$

3. 最終的な答え

(1) $(1,2)$

(2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} -1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}$

(5) $\theta = 11\pi/6$