$a$ が正の数のとき、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ が正の数のとき、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。$a > 0$ であるから、$\frac{a}{4} > 0$ かつ $\frac{9}{a} > 0$ です。

相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} \cdot \frac{9}{a}}$

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{9}{4}}$

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 2 \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$

したがって、不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$\frac{a}{4} = \frac{9}{a}$ のときです。

$a^2 = 36$

$a = \pm 6$

$a > 0$ より、$a = 6$

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{a}{4} + \frac{9}{a} \geq 3$ は証明された。

等号が成り立つのは $a = 6$ のとき。