行列 $A$ と $B$ が与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ (1) 行列の積 $AB$ を計算します。 (2) (1)の結果から $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を推測し、$A^{-1}A = I$ (ここで $I$ は3x3の単位行列) を確認します。

1. 問題の内容

行列 $A$ と $B$ が与えられています。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

(1) 行列の積 $AB$ を計算します。

(2) (1)の結果から $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を推測し、$A^{-1}A = I$ (ここで $I$ は3x3の単位行列) を確認します。

2. 解き方の手順

(1) 行列の積 $AB$ を計算します。

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1+1 & 1-2+1 & 1+0-1 \\ 1-2+1 & 1+4+1 & 1+0-1 \\ 1+0-1 & 1+0-1 & 1+0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

(2) $AB$ の結果から $A^{-1}$ を推測します。

$AB = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

$AB$ が対角行列なので、$AB = C$ とすると、$B = A^{-1}C$ と予想できます。

もし $AB=I$（単位行列）であれば、 $B = A^{-1}$ となります。今回は $AB$ は単位行列ではありません。

$AB = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$

対角成分をそれぞれ 1 にするために、$AB$ の各行を対角成分で割ると

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/6 & -1/3 & 1/6 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{bmatrix}$

であると仮定します。

確認: $A^{-1} = c B$ となる $c$ が存在するか？

行列 $B$ に定数倍をすると $A^{-1}$ になることはないようなので、$B$ から直接 $A^{-1}$ を得ることは難しいと考えられます。

$A^{-1} A = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/6 & -1/3 & 1/6 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3+1/3+1/3 & 1/3-2/3+0 & 1/3+1/3-1/3 \\ 1/6-1/3+1/6 & 1/6+2/3+0 & 1/6-1/3-1/6 \\ 1/2+0-1/2 & 1/2+0+0 & 1/2+0+1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1/3 & 1/3 \\ 0 & 5/6 & -1/3 \\ 0 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}$

これは単位行列ではないので、逆行列の推測が間違っていました。しかし、 $AB$ が対角行列なので、この事実を利用します。

$AB=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ より、$B=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$, $A^{-1}$を両辺にかけると、$A^{-1}AB=A^{-1} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$となり、$IB=A^{-1} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$なので、$B=A^{-1} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$、したがって、$A^{-1}=B \begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/6 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/6 & 1/2 \\ 1/3 & -1/3 & 0 \\ 1/3 & 1/6 & -1/2 \end{bmatrix}$

$A^{-1}A = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/6 & 1/2 \\ 1/3 & -1/3 & 0 \\ 1/3 & 1/6 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

3. 最終的な答え

(1) $AB = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

(2) $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/6 & 1/2 \\ 1/3 & -1/3 & 0 \\ 1/3 & 1/6 & -1/2 \end{bmatrix}$