直線 $l$ が媒介変数 $t$ を用いて $x = 1 - 3t$, $y = -2 + 2t$ と表されるとき、$x$ と $y$ の関係式で表された $l$ の方程式を求める。

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6. 直線の方程式を求める

1. 問題の内容

直線 $l$ が媒介変数 $t$ を用いて $x = 1 - 3t$, $y = -2 + 2t$ と表されるとき、$x$ と $y$ の関係式で表された $l$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

媒介変数 $t$ を消去するために、$x$ と $y$ の式からそれぞれ $t$ を表す式を導き、それらを等しいとおく。

まず、$x = 1 - 3t$ から $3t = 1 - x$ より、

$t = \frac{1-x}{3}$

次に、$y = -2 + 2t$ から $2t = y + 2$ より、

$t = \frac{y+2}{2}$

したがって、

$\frac{1-x}{3} = \frac{y+2}{2}$

両辺に6を掛けて

$2(1-x) = 3(y+2)$

$2 - 2x = 3y + 6$

$-2x - 3y - 4 = 0$

$2x + 3y + 4 = 0$

3. 最終的な答え

$2x + 3y + 4 = 0$

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7. 直線と点に関する問題

1. 問題の内容

直線 $l: x - 2y + 1 = 0$ と点 $P(2, -1)$ について、以下の問いに答える。

(1) $l$ の法線ベクトルを1つ求める。

(2) 点 $P$ を通り $l$ に直交する直線を $l_1$ とするとき、$l_1$ の媒介変数 $t$ による方程式を求める。

(3) $l$ と $l_1$ の交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で与えられる。

$l$ の方程式は $x - 2y + 1 = 0$ なので、法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ である。

(2) 直線 $l$ の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ なので、$l_1$ の方向ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ に直交するベクトル、例えば $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を選ぶことができる。

点 $P(2, -1)$ を通り、方向ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を持つ直線 $l_1$ の媒介変数表示は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 2 + 2t$, $y = -1 + t$

(3) $l$ と $l_1$ の交点を求めるために、$l$ の方程式 $x - 2y + 1 = 0$ に $l_1$ の方程式を代入する。

$(2+2t) - 2(-1+t) + 1 = 0$

$2 + 2t + 2 - 2t + 1 = 0$

$5 = 0$

これは矛盾しているので、$l$ と $l_1$ は並行であるという誤った結論に至ります。

ここで、$l_1$ の方向ベクトルが法線ベクトルに直交するという条件だけを満たしていれば良いので、$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$に限定する必要はないことに注意します。今回はシンプルに$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$を選択しましたが、より一般的な方法で解く必要があるかもしれません。

$l$ の方程式を $x = 2y - 1$ と変形します。

$l_1$ の傾きは $l$ の傾き (1/2) の逆数の負なので、$-2$ です。

よって、$l_1$ の方程式は $y - (-1) = -2(x - 2)$ となり、$y + 1 = -2x + 4$ から $y = -2x + 3$ を得ます。

交点を求めるには、これらの方程式を解きます。

$x - 2y + 1 = 0$

$y = -2x + 3$

$x - 2(-2x + 3) + 1 = 0$

$x + 4x - 6 + 1 = 0$

$5x - 5 = 0$

$x = 1$

$y = -2(1) + 3 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

(2) $x = 2 + 2t$, $y = -1 + t$

(3) $(1, 1)$

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8. ベクトルの線形結合

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ の線形結合で表す。

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$, $\vec{c}$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる実数 $s, t$ を求める。

$\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s + 3t \\ 2s + 7t \end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式を得る。

$s + 3t = 4$

$2s + 7t = 6$

2番目の式から最初の式の2倍を引くと、

$2s + 7t - 2(s + 3t) = 6 - 2(4)$

$t = -2$

$s = 4 - 3t = 4 - 3(-2) = 10$

よって、$\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$ となる実数 $u, v$ を求める。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = u\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3u + 4v \\ 7u + 6v \end{pmatrix}$

したがって、以下の連立方程式を得る。

$3u + 4v = 1$

$7u + 6v = 2$

2番目の式に2を掛け、最初の式に3を掛けると、

$9u + 12v = 3$

$14u + 12v = 4$

2番目の式から最初の式を引くと、

$5u = 1$

$u = \frac{1}{5}$

$4v = 1 - 3u = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$v = \frac{1}{10}$

よって、$\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$