数列 $\frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 14}, \frac{1}{14 \cdot 17}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 8}, \frac{1}{8 \cdot 11}, \frac{1}{11 \cdot 14}, \frac{1}{14 \cdot 17}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列の一般項 $a_k$ は $a_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ と表せる。

部分分数分解を利用して、一般項を差の形に変形する。

$a_k = \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{A}{3k-1} + \frac{B}{3k+2}$ とおく。

$1 = A(3k+2) + B(3k-1)$

$1 = (3A+3B)k + (2A-B)$

この式が $k$ について恒等的に成り立つためには、

$3A+3B = 0$

$2A-B = 1$

という連立方程式を満たす必要がある。

$A+B=0$ より $B = -A$.

$2A - (-A) = 1$

$3A = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

よって $a_k = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$ となる。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right\}$

これはtelescoping sum (望遠鏡和) と呼ばれる形であり、多くの項が打ち消しあう。

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{2(3n+2)} \right)$

$= \frac{n}{2(3n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{6n+4}$