初項1、公差3の等差数列を、1個、2個、3個、...と群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を求めよ。 (2) 第 $n$ 群に含まれる数の和を求めよ。 (3) 148 は第何群の何番目の数か。

1. 問題の内容

初項1、公差3の等差数列を、1個、2個、3個、...と群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求めよ。

(2) 第 $n$ 群に含まれる数の和を求めよ。

(3) 148 は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

元の数列は初項1、公差3の等差数列なので、一般項は $a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 2$ となる。

第 $n$ 群の最初の数は、元の数列の第何項か考える。第 $(n-1)$ 群までの項数は $1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、元の数列の第 $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 項である。

よって、第 $n$ 群の最初の数は $3(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 2 = \frac{3n(n-1)}{2} + 3 - 2 = \frac{3n^2 - 3n}{2} + 1 = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$ である。

(2) 第 $n$ 群に含まれる数の和を求める。

第 $n$ 群には $n$ 個の数が含まれる。第 $n$ 群の最初の数は $\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$ である。

公差は3なので、第 $n$ 群に含まれる数列は初項 $\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$、公差3、項数 $n$ の等差数列である。

この数列の和は、

$\frac{n}{2} [2 \cdot \frac{3n^2 - 3n + 2}{2} + (n-1) \cdot 3] = \frac{n}{2} [3n^2 - 3n + 2 + 3n - 3] = \frac{n}{2} [3n^2 - 1] = \frac{3n^3 - n}{2}$ である。

(3) 148 が第何群の何番目の数か求める。

元の数列の一般項は $3n - 2$ であり、$3n - 2 = 148$ とすると、 $3n = 150$ より $n = 50$ となる。つまり148は元の数列の50番目の数である。

第 $k$ 群までの項数の合計を $S_k$ とすると、$S_k = \frac{k(k+1)}{2}$ である。

$S_k \le 50$ を満たす最大の $k$ を探す。

$k=9$ のとき $S_9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45$

$k=10$ のとき $S_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

よって、148は第10群に含まれる。第9群までの項数は45なので、148は第10群の $50 - 45 = 5$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

(2) 第 $n$ 群に含まれる数の和: $\frac{3n^3 - n}{2}$

(3) 148は第10群の5番目の数