与えられた式 $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の形に似ています。

まず、$x^3$ は $a^3$ に対応すると考え、$a = x$ となります。

次に、$-27y^3$ は $-b^3$ に対応すると考え、$b^3 = 27y^3$ より、$b = 3y$ となります。

ここで $(x - 3y)^3$ を展開してみましょう。

$(x - 3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

しかし、与えられた式は $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ であり、$(x - 3y)^3$ の展開式とは異なります。

別の方法として、与えられた式を次のように見てみましょう。

$x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot ( \sqrt{6}y)^2 - (3y)^3$

この形から、簡単な公式では因数分解できないことがわかります。

元の式を注意深く見ると、$x^3 - 6x^2 y + 18xy^2 - 27y^3$ は $(x - ay)$ の３乗の展開の形に似ています。$(x - ay)^3 = x^3 - 3ax^2 y + 3a^2 xy^2 - a^3 y^3$。与えられた式と比較すると、$-3a = -6$ より、$a = 2$、および $3a^2 = 18$ より $a^2 = 6$, $a = \sqrt{6}$、および $-a^3 = -27$ より、$a^3 = 27$, $a = 3$。これらの係数 $a$ が一致しないため、単純な３乗の因数分解ではありません。

したがって、因数分解できないと判断します。

3. 最終的な答え

因数分解できません。