初項が66の等差数列 $\{a_n\}$ があり、第10項から第25項までの和が0である。初項から第n項までの和を $S_n$ とする。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ の値を求めよ。 (3) $S_n$ が最大となる $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

初項が66の等差数列 $\{a_n\}$ があり、第10項から第25項までの和が0である。初項から第n項までの和を $S_n$ とする。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ の値を求めよ。

(3) $S_n$ が最大となる $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

初項を $a = 66$、公差を $d$ とする。

第10項から第25項までの和が0であるから、

$\frac{(25 - 10 + 1)}{2} (a_{10} + a_{25}) = 0$

$16 (a_{10} + a_{25}) = 0$

$a_{10} + a_{25} = 0$

$a + 9d + a + 24d = 0$

$2a + 33d = 0$

$2(66) + 33d = 0$

$132 + 33d = 0$

$33d = -132$

$d = -4$

したがって、一般項は

$a_n = a + (n-1)d = 66 + (n-1)(-4) = 66 - 4n + 4 = 70 - 4n$

$a_n = 70 - 4n$

(2)

$a_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ を求める。

$70 - 4n < 0$

$70 < 4n$

$n > \frac{70}{4} = \frac{35}{2} = 17.5$

したがって、$n$ は18以上の整数であり、最小の自然数は $n = 18$ である。

(3)

$S_n$ が最大となる $n$ の値を求める。$a_n$ は減少していくので、$a_n$ が正である最大の $n$ までの和が最大となる。

$a_n > 0$ となる $n$ を求める。

$70 - 4n > 0$

$70 > 4n$

$n < \frac{70}{4} = 17.5$

$n$ は17以下の整数であり、$n=17$ のとき $a_n > 0$ となる。

また、$n=18$ のとき、$a_{18} < 0$ となる。

したがって、$S_n$ が最大となるのは、$n = 17$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 70 - 4n$

(2) $n = 18$

(3) $n = 17$