与えられた方程式と不等式を解き、指定された条件を満たす解を求めます。具体的には、 (1) 方程式 $|x-11|=2$ の解を求める。 (2) 不等式 $|2x+5|<7$ の解を求める。 (3) 不等式 $|3x+2|\geq 1$ の解を求める。 (4) 方程式 $|2x-4|=x$ の解のうち、$x\geq 2$ を満たすものと、$x<2$を満たすものをそれぞれ求める。また、不等式 $|2x-4|\leq x$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた方程式と不等式を解き、指定された条件を満たす解を求めます。具体的には、

(1) 方程式 $|x-11|=2$ の解を求める。

(2) 不等式 $|2x+5|<7$ の解を求める。

(3) 不等式 $|3x+2|\geq 1$ の解を求める。

(4) 方程式 $|2x-4|=x$ の解のうち、$x\geq 2$ を満たすものと、$x<2$を満たすものをそれぞれ求める。また、不等式 $|2x-4|\leq x$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|x-11|=2$ を解く。絶対値の定義から、$x-11=2$ または $x-11=-2$ である。

- $x-11=2$ のとき、$x=13$

- $x-11=-2$ のとき、$x=9$

(2) $|2x+5|<7$ を解く。絶対値の性質から、$-7 < 2x+5 < 7$ である。

- 各辺から5を引くと、$-12 < 2x < 2$

- 各辺を2で割ると、$-6 < x < 1$

(3) $|3x+2|\geq 1$ を解く。絶対値の性質から、$3x+2\geq 1$ または $3x+2\leq -1$ である。

- $3x+2\geq 1$ のとき、$3x\geq -1$ より $x\geq -\frac{1}{3}$

- $3x+2\leq -1$ のとき、$3x\leq -3$ より $x\leq -1$

したがって、$x\leq -1$ または $x\geq -\frac{1}{3}$

(4) $|2x-4|=x$ を解く。絶対値の定義から、$2x-4=x$ または $2x-4=-x$ である。

- $2x-4=x$ のとき、$x=4$

- $2x-4=-x$ のとき、$3x=4$ より $x=\frac{4}{3}$

$x\geq 2$ を満たすものは $x=4$ であり、$x<2$ を満たすものは $x=\frac{4}{3}$ である。

$|2x-4|\leq x$ を解く。絶対値の性質から、$-x \leq 2x-4 \leq x$ である。

- $-x \leq 2x-4$ より $3x\geq 4$ であり、$x\geq \frac{4}{3}$

- $2x-4 \leq x$ より $x\leq 4$

したがって、$\frac{4}{3} \leq x \leq 4$

3. 最終的な答え

(1) $x=9, 13$

(2) $-6 < x < 1$

(3) $x\leq -1$ または $x\geq -\frac{1}{3}$

(4) $x\geq 2$ を満たすものは $x=4$、$x<2$ を満たすものは $x=\frac{4}{3}$、不等式 $|2x-4|\leq x$ の解は $\frac{4}{3} \leq x \leq 4$