ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (3, 7)$, $\vec{c} = (4, 6)$ が与えられている。 (1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。 (2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表す。

はい、承知しました。問題8を解きます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 2)$, $\vec{b} = (3, 7)$, $\vec{c} = (4, 6)$ が与えられている。

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。つまり、実数 $s, t$ を用いて $\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ と表すことを考える。

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表すと、

$(4, 6) = s(1, 2) + t(3, 7)$

$(4, 6) = (s + 3t, 2s + 7t)$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$s + 3t = 4$ (1)

$2s + 7t = 6$ (2)

(2) - (1)x2 より、

$t = 6 - 8 = -2$

(1) に代入して、

$s + 3(-2) = 4$

$s = 4 + 6 = 10$

よって、$\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表す。つまり、実数 $u, v$ を用いて $\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$ と表すことを考える。

$\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$ を成分で表すと、

$(1, 2) = u(3, 7) + v(4, 6)$

$(1, 2) = (3u + 4v, 7u + 6v)$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$3u + 4v = 1$ (3)

$7u + 6v = 2$ (4)

(3)x7 - (4)x3 より、

$28v - 18v = 7 - 6$

$10v = 1$

$v = \frac{1}{10}$

(3) に代入して、

$3u + 4(\frac{1}{10}) = 1$

$3u = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10}$

$u = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

よって、$\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$