連立不等式 $5x - 8 > 2x + 1$ $x + 3 \geq 3x - a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

連立不等式

$5x - 8 > 2x + 1$

$x + 3 \geq 3x - a$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

一つ目の不等式：

$5x - 8 > 2x + 1$

$3x > 9$

$x > 3$

二つ目の不等式：

$x + 3 \geq 3x - a$

$a + 3 \geq 2x$

$x \leq \frac{a+3}{2}$

したがって、連立不等式の解は $3 < x \leq \frac{a+3}{2}$ となります。

これを満たす整数 $x$ がちょうど5個であることから、整数 $x$ は 4, 5, 6, 7, 8 である必要があります。

したがって、$8 \leq \frac{a+3}{2} < 9$ が成り立ちます。

$8 \leq \frac{a+3}{2}$ より、

$16 \leq a + 3$

$a \geq 13$

$\frac{a+3}{2} < 9$ より、

$a + 3 < 18$

$a < 15$

したがって、 $13 \leq a < 15$ となります。

3. 最終的な答え

$13 \leq a < 15$