与えられた2次関数 $f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4$ と $g(x) = -x^2 + 4kx - 10$ について、以下の問題を解く。 (1) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値 $m$ を $k$ の値によって場合分けして求める。さらに、$0 \le x \le 2$ を満たすすべての実数 $x$ について、$f(x) > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) すべての実数 $x$ について、$f(x) > g(x)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (3) すべての実数 $x_1$, $x_2$ について、$f(x_1) > g(x_2)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4$ と $g(x) = -x^2 + 4kx - 10$ について、以下の問題を解く。

(1) $0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値 $m$ を $k$ の値によって場合分けして求める。さらに、$0 \le x \le 2$ を満たすすべての実数 $x$ について、$f(x) > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) すべての実数 $x$ について、$f(x) > g(x)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(3) すべての実数 $x_1$, $x_2$ について、$f(x_1) > g(x_2)$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4 = (x+k)^2 - k^2 + 3k + 4$ より、$f(x)$ の軸は $x = -k$ である。

$0 \le x \le 2$ における $f(x)$ の最小値を $m$ とする。

(i) $-k > 2$ つまり $k < -2$ のとき、$m = f(2) = 4 + 4k + 3k + 4 = 7k + 8$

(ii) $0 \le -k \le 2$ つまり $-2 \le k \le 0$ のとき、$m = f(-k) = -k^2 + 3k + 4$

(iii) $-k < 0$ つまり $k > 0$ のとき、$m = f(0) = 3k + 4$

したがって、

$k < -2$ のとき $m = 7k + 8$

$-2 \le k \le 0$ のとき $m = -k^2 + 3k + 4$

$k \ge 0$ のとき $m = 3k + 4$

次に、$0 \le x \le 2$ を満たすすべての実数 $x$ について $f(x) > 0$ が成り立つとき、$m > 0$ である。

(i) $k < -2$ のとき $7k + 8 > 0$ より $k > -8/7$。よって、$-8/7 < k < -2$

(ii) $-2 \le k \le 0$ のとき $-k^2 + 3k + 4 > 0$ より $k^2 - 3k - 4 < 0$。 $(k-4)(k+1) < 0$ より $-1 < k < 4$。よって、$-1 < k \le 0$

(iii) $k > 0$ のとき $3k + 4 > 0$ より $k > -4/3$。よって、$k > 0$

以上より、$k > -8/7$ である。

(2) すべての実数 $x$ について、$f(x) > g(x)$ が成り立つとき、$f(x) - g(x) > 0$ である。

$f(x) - g(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4 - (-x^2 + 4kx - 10) = 2x^2 - 2kx + 3k + 14$

この2次式が常に正であるためには、判別式 $D < 0$ であれば良い。

$D/4 = (-k)^2 - 2(3k + 14) = k^2 - 6k - 28 < 0$

$k = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 112}}{2} = 3 \pm \sqrt{9 + 28} = 3 \pm \sqrt{37}$

したがって、$3 - \sqrt{37} < k < 3 + \sqrt{37}$

(3) すべての実数 $x_1$, $x_2$ について、$f(x_1) > g(x_2)$ が成り立つためには、$f(x)$ の最小値が $g(x)$ の最大値よりも大きければよい。

$f(x) = x^2 + 2kx + 3k + 4 = (x+k)^2 - k^2 + 3k + 4$ より、$f(x)$ の最小値は $-k^2 + 3k + 4$ である。

$g(x) = -x^2 + 4kx - 10 = -(x-2k)^2 + 4k^2 - 10$ より、$g(x)$ の最大値は $4k^2 - 10$ である。

したがって、$-k^2 + 3k + 4 > 4k^2 - 10$

$5k^2 - 3k - 14 < 0$

$(5k + 7)(k - 2) < 0$

$-7/5 < k < 2$

3. 最終的な答え

(1) アイ：-2, ウ：7, エ：8, オ：0, カ：-1, キ：3, ク：4, ケ：3, コ：4, サシ：-8/7

(2) ス：3, セソ：37

(3) タチ：-7, ツ：5, テ：2