4次の正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた項の係数につける符号を求める問題です。具体的には、以下の3つの項の符号を求めます。 (1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ (2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ (3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

1. 問題の内容

4次の正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた項の係数につける符号を求める問題です。具体的には、以下の3つの項の符号を求めます。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

2. 解き方の手順

行列式の各項の符号は、その項に対応する置換の符号によって決まります。置換の符号は、置換を互換の積で表したときの互換の個数の偶奇で決まります。偶数個なら正（+）、奇数個なら負（-）となります。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ に対応する置換は $(1,2,3,4) \rightarrow (3,2,4,1)$ です。この置換は $(1 \ 3)(4 \ 1)$ つまり、互換 $(13)$ と $(41)$ の積と考えることができます。これは偶数個の互換なので、符号は+です。

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ に対応する置換は $(1,2,3,4) \rightarrow (2,3,1,4)$ です。この置換は $(1 \ 2 \ 3)$ と書けます。これは $(1 \ 2)(2 \ 3)$ と互換で表せるので奇数個の互換となり、符号は-です。

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$ に対応する置換は $(1,2,3,4) \rightarrow (2,4,1,3)$ です。これは $(1 \ 2 \ 4 \ 3)$ と書けます。これは $(1 \ 2)(2 \ 4)(4 \ 3)$ と互換で表せるので奇数個の互換となり、符号は-です。

3. 最終的な答え

(1) +

(2) -

(3) -