次の不等式を解きます。 (1) $9^x - 81 > 0$ (2) $(\frac{1}{4})^{1-x} \le (\frac{1}{2})^{2x}$ (3) $\log_5 x \le -2$ (4) $\log_{\frac{1}{3}}(4-x) \le \log_{\frac{1}{3}}(3x)$ (5) $(\frac{1}{9})^x - \frac{1}{3^x} - 6 > 0$

はい、承知しました。画像にある5つの不等式を解いていきます。

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

(1) $9^x - 81 > 0$

(2) $(\frac{1}{4})^{1-x} \le (\frac{1}{2})^{2x}$

(3) $\log_5 x \le -2$

(4) $\log_{\frac{1}{3}}(4-x) \le \log_{\frac{1}{3}}(3x)$

(5) $(\frac{1}{9})^x - \frac{1}{3^x} - 6 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $9^x - 81 > 0$ を解きます。

$9^x > 81$

$9^x > 9^2$

底が9で1より大きいので、指数を比較して

$x > 2$

(2) $(\frac{1}{4})^{1-x} \le (\frac{1}{2})^{2x}$ を解きます。

$(\frac{1}{2})^{2(1-x)} \le (\frac{1}{2})^{2x}$

底が$\frac{1}{2}$で1より小さいので、指数を比較する際に不等号の向きが逆になります。

$2(1-x) \ge 2x$

$2 - 2x \ge 2x$

$2 \ge 4x$

$x \le \frac{1}{2}$

(3) $\log_5 x \le -2$ を解きます。

真数条件より、$x > 0$

$\log_5 x \le \log_5 5^{-2}$

$\log_5 x \le \log_5 \frac{1}{25}$

底が5で1より大きいので、$x \le \frac{1}{25}$

真数条件と合わせて、$0 < x \le \frac{1}{25}$

(4) $\log_{\frac{1}{3}}(4-x) \le \log_{\frac{1}{3}}(3x)$ を解きます。

真数条件より、$4 - x > 0$ かつ $3x > 0$。つまり、$x < 4$ かつ $x > 0$。

よって、$0 < x < 4$

底が$\frac{1}{3}$で1より小さいので、$4 - x \ge 3x$

$4 \ge 4x$

$x \le 1$

真数条件と合わせて、$0 < x \le 1$

(5) $(\frac{1}{9})^x - \frac{1}{3^x} - 6 > 0$ を解きます。

$(\frac{1}{3^2})^x - \frac{1}{3^x} - 6 > 0$

$(\frac{1}{3^x})^2 - \frac{1}{3^x} - 6 > 0$

$t = \frac{1}{3^x}$ とおくと、$t > 0$であり

$t^2 - t - 6 > 0$

$(t-3)(t+2) > 0$

$t > 3$ または $t < -2$

$t > 0$ より、$t > 3$

$\frac{1}{3^x} > 3$

$\frac{1}{3^x} > \frac{1}{3^{-1}}$

$3^{-x} > 3^{-1}$

$-x < -1$

$x > 1$

3. 最終的な答え

(1) $x > 2$

(2) $x \le \frac{1}{2}$

(3) $0 < x \le \frac{1}{25}$

(4) $0 < x \le 1$

(5) $x < -1$