与えられた問題は3つの部分からなります。 (1) 不等式 $n^2 - 5n + 5 < 0$ を満たす整数 $n$ をすべて求めます。 (2) 不等式 $[x]^2 - 5[x] + 5 < 0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めます。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。 (3) $x$ は (2) で求めた範囲にあるとし、方程式 $x^2 - 5[x] + 5 = 0$ を満たす $x$ をすべて求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は3つの部分からなります。

(1) 不等式 $n^2 - 5n + 5 < 0$ を満たす整数 $n$ をすべて求めます。

(2) 不等式 $[x]^2 - 5[x] + 5 < 0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めます。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。

(3) $x$ は (2) で求めた範囲にあるとし、方程式 $x^2 - 5[x] + 5 = 0$ を満たす $x$ をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $n^2 - 5n + 5 < 0$ を解きます。

まず、二次方程式 $n^2 - 5n + 5 = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$n = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$n_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.236}{2} \approx 1.382$、$n_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.236}{2} \approx 3.618$

$n^2 - 5n + 5 < 0$ を満たす $n$ の範囲は $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} < n < \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ であるため、$1.382 < n < 3.618$ を満たす整数 $n$ は $n = 2, 3$ です。

(2) 不等式 $[x]^2 - 5[x] + 5 < 0$ を解きます。

(1) の結果から、$[x] = 2, 3$ となります。

$[x] = 2$ のとき、$2 \le x < 3$。

$[x] = 3$ のとき、$3 \le x < 4$。

したがって、$2 \le x < 4$ が求める $x$ の範囲です。

(3) 方程式 $x^2 - 5[x] + 5 = 0$ を解きます。

$x$ は $2 \le x < 4$ の範囲にあるので、$[x]$ は $2$ または $3$ です。

(i) $[x] = 2$ のとき、$x^2 - 5(2) + 5 = 0$ より $x^2 - 5 = 0$ なので、$x = \pm \sqrt{5}$。

$2 \le x < 3$ の範囲にあるのは $x = \sqrt{5}$ のみです。$\sqrt{5} \approx 2.236$ であるため、$2 \le \sqrt{5} < 3$ を満たします。

(ii) $[x] = 3$ のとき、$x^2 - 5(3) + 5 = 0$ より $x^2 - 10 = 0$ なので、$x = \pm \sqrt{10}$。

$3 \le x < 4$ の範囲にあるのは $x = \sqrt{10}$ のみです。$\sqrt{10} \approx 3.162$ であるため、$3 \le \sqrt{10} < 4$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $n = 2, 3$

(2) $2 \le x < 4$

(3) $x = \sqrt{5}, \sqrt{10}$