与えられた8つの式を因数分解します。

はい、承知いたしました。以下の形式で問題に回答します。

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1) $1 - a^6$

これは差の二乗の公式と差の三乗の公式を組み合わせます。

$1 - a^6 = (1 - a^3)(1 + a^3)$

$= (1 - a)(1 + a + a^2)(1 + a)(1 - a + a^2)$

$= (1 - a)(1 + a)(1 + a + a^2)(1 - a + a^2)$

$= (1 - a^2)(1 + a + a^2)(1 - a + a^2)$

(2) $81x^4 - 16y^4$

これは差の二乗の公式を使います。

$81x^4 - 16y^4 = (9x^2)^2 - (4y^2)^2$

$= (9x^2 - 4y^2)(9x^2 + 4y^2)$

さらに、$9x^2 - 4y^2$も差の二乗の公式で因数分解できます。

$9x^2 - 4y^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$

したがって、

$81x^4 - 16y^4 = (3x - 2y)(3x + 2y)(9x^2 + 4y^2)$

(3) $x^4 - 5x^2 + 4$

$x^2 = X$とおくと、$X^2 - 5X + 4$となります。

$X^2 - 5X + 4 = (X - 1)(X - 4)$

元の変数に戻すと、$x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

さらに、$x^2 - 1$と$x^2 - 4$はそれぞれ差の二乗の公式で因数分解できます。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

したがって、$x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

(4) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

これは因数分解の公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$の形をしています。

$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 = (x^2 - 4y^2)^2$

さらに、$x^2 - 4y^2$は差の二乗の公式で因数分解できます。

$x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$

したがって、$x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 = ((x - 2y)(x + 2y))^2 = (x - 2y)^2(x + 2y)^2$

(5) $xy - x - y + 1$

共通因数でくくって因数分解します。

$xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1)$

$= (x - 1)(y - 1)$

(6) $6(x + y)^2 + 5(x + y) - 6$

$x + y = X$とおくと、$6X^2 + 5X - 6$となります。

$6X^2 + 5X - 6 = (2X + 3)(3X - 2)$

元の変数に戻すと、$6(x + y)^2 + 5(x + y) - 6 = (2(x + y) + 3)(3(x + y) - 2)$

$= (2x + 2y + 3)(3x + 3y - 2)$

(7) $4x^2 - 12x + 9 - 9y^2$

$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$

したがって、$4x^2 - 12x + 9 - 9y^2 = (2x - 3)^2 - (3y)^2$

これは差の二乗の公式の形をしています。

$(2x - 3)^2 - (3y)^2 = (2x - 3 - 3y)(2x - 3 + 3y)$

$= (2x - 3y - 3)(2x + 3y - 3)$

(8) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$

$(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24 = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 24$

$X = x^2 + 5x$とおくと、

$(X + 4)(X + 6) - 24 = X^2 + 10X + 24 - 24 = X^2 + 10X = X(X+10)$

元の変数に戻すと、$(x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10) = x(x+5)(x^2 + 5x + 10)$

3. 最終的な答え

(1) $(1 - a^2)(1 + a + a^2)(1 - a + a^2)$

(2) $(3x - 2y)(3x + 2y)(9x^2 + 4y^2)$

(3) $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

(4) $(x - 2y)^2(x + 2y)^2$

(5) $(x - 1)(y - 1)$

(6) $(2x + 2y + 3)(3x + 3y - 2)$

(7) $(2x - 3y - 3)(2x + 3y - 3)$

(8) $x(x+5)(x^2 + 5x + 10)$