実数 $a, b$ について、$ab < 0$ ならば $|a| + |b| \neq |a+b|$ であることを証明する問題です。空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

実数 $a, b$ について、$ab < 0$ ならば $|a| + |b| \neq |a+b|$ であることを証明する問題です。空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、命題のアを考える。問題文より、「実数 $a, b$ について、$|a| + |b| = |a+b|$ ならば、$ab$ イ $0$ である」となるので、アは $|a| + |b| = |a+b|$ である。

次に、$|a| + |b| = |a+b|$ より、$(|a| + |b|)^2 = |a+b|^2$ である。

$(|a| + |b|)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = a^2 + 2|ab| + b^2$

$|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

したがって、$a^2 + 2|ab| + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ となる。

これから、$2|ab| = 2ab$ となり、$|ab| = ab$。

したがって、ウは $|ab|$ である。

$|ab| = ab$ より、$ab \geq 0$。

よって、$ab$ イ $0$ であり、イは $\geq$ である。

与えられた命題「$ab < 0$ ならば $|a| + |b| \neq |a+b|$」は、命題のア「$|a| + |b| = |a+b|$ ならば $ab \geq 0$」の対偶であるため真である。

3. 最終的な答え

ア: $|a| + |b| = |a+b|$

イ: $\geq$

ウ: $|ab|$