与えられた10個の2次関数について、それぞれの最大値または最小値を求めます。与えられた関数はすべて $y = a(x-p)^2 + q$ の形式で表されており、この形式から頂点の座標$(p, q)$と、 $a$ の符号によって最大値または最小値を容易に判断できます。

1. 問題の内容

与えられた10個の2次関数について、それぞれの最大値または最小値を求めます。与えられた関数はすべて $y = a(x-p)^2 + q$ の形式で表されており、この形式から頂点の座標$(p, q)$と、 $a$ の符号によって最大値または最小値を容易に判断できます。

2. 解き方の手順

一般に、2次関数 $y = a(x-p)^2 + q$ は、

* $a > 0$ のとき、下に凸なグラフになり、頂点 $(p, q)$ で最小値 $q$ をとります。最大値はありません。

* $a < 0$ のとき、上に凸なグラフになり、頂点 $(p, q)$ で最大値 $q$ をとります。最小値はありません。

それぞれの関数について、$a, p, q$ を特定し、上記のルールに従って最大値または最小値を判断します。

(1) $y = (x-1)^2 - 1$

$a = 1 > 0$, $p = 1$, $q = -1$。 最小値は -1。

(2) $y = -(x+2)^2 - 3$

$a = -1 < 0$, $p = -2$, $q = -3$。 最大値は -3。

(3) $y = -2(x+3)^2 - 5$

$a = -2 < 0$, $p = -3$, $q = -5$。 最大値は -5。

(4) $y = 2(x-4)^2 + 2$

$a = 2 > 0$, $p = 4$, $q = 2$。 最小値は 2。

(5) $y = \frac{1}{2}(x+3)^2 + 4$

$a = \frac{1}{2} > 0$, $p = -3$, $q = 4$。 最小値は 4。

(6) $y = \frac{1}{3}(x-1)^2 - 9$

$a = \frac{1}{3} > 0$, $p = 1$, $q = -9$。 最小値は -9。

(7) $y = -\frac{1}{2}(x-8)^2 - 7$

$a = -\frac{1}{2} < 0$, $p = 8$, $q = -7$。 最大値は -7。

(8) $y = -\frac{1}{3}(x-4)^2 + 5$

$a = -\frac{1}{3} < 0$, $p = 4$, $q = 5$。 最大値は 5。

(9) $y = 3(x-3)^2 + 3$

$a = 3 > 0$, $p = 3$, $q = 3$。 最小値は 3。

(10) $y = -\frac{2}{3}(x+6)^2 - 10$

$a = -\frac{2}{3} < 0$, $p = -6$, $q = -10$。 最大値は -10。

3. 最終的な答え

(1) 最小値：-1

(2) 最大値：-3

(3) 最大値：-5

(4) 最小値：2

(5) 最小値：4

(6) 最小値：-9

(7) 最大値：-7

(8) 最大値：5

(9) 最小値：3

(10) 最大値：-10