4次正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、以下の項の係数につける符号を求めます。 (1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ (2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ (3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

1. 問題の内容

4次正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、以下の項の係数につける符号を求めます。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

2. 解き方の手順

行列式の各項の符号は、行と列のインデックスによって決まる置換の符号によって決定されます。

各項について、列のインデックスの置換を考え、その置換の符号を計算します。

置換の符号は、互換の回数の偶奇で決まり、偶数回なら正（+）、奇数回なら負（-）となります。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$: 列のインデックスの置換は (3, 2, 4, 1) です。

これを基本順序(1, 2, 3, 4)にするための互換の回数は次のようになります。

(3, 2, 4, 1) -> (3, 2, 1, 4) -> (3, 1, 2, 4) -> (1, 3, 2, 4) -> (1, 2, 3, 4)。4回の互換なので、符号は + です。

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$: 列のインデックスの置換は (2, 3, 1, 4) です。

これを基本順序(1, 2, 3, 4)にするための互換の回数は次のようになります。

(2, 3, 1, 4) -> (2, 1, 3, 4) -> (1, 2, 3, 4)。2回の互換なので、符号は + です。

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$: 列のインデックスの置換は (2, 4, 1, 3) です。

これを基本順序(1, 2, 3, 4)にするための互換の回数は次のようになります。

(2, 4, 1, 3) -> (2, 1, 4, 3) -> (1, 2, 4, 3) -> (1, 2, 3, 4)。3回の互換なので、符号は - です。

3. 最終的な答え

(1) +

(2) +

(3) -