与えられた数式を計算または簡単にせよ。ただし、(7)と(8)は底の変換公式を用いる。 (1) $\sqrt[3]{729}$ (2) $\sqrt[10]{32}$ (3) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{3}{2}}$ (4) $(3^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}}$ (5) $\sqrt[3]{5} \div \sqrt[12]{5} \times \sqrt[8]{25}$ (6) $\log_3 4 + \log_3 18 - 3\log_3 2$ (7) $\log_8 16$ (8) $\log_4 3 \cdot \log_3 32$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた数式を計算または簡単にせよ。ただし、(7)と(8)は底の変換公式を用いる。

(1) $\sqrt[3]{729}$

(2) $\sqrt[10]{32}$

(3) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{3}{2}}$

(4) $(3^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}}$

(5) $\sqrt[3]{5} \div \sqrt[12]{5} \times \sqrt[8]{25}$

(6) $\log_3 4 + \log_3 18 - 3\log_3 2$

(7) $\log_8 16$

(8) $\log_4 3 \cdot \log_3 32$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{9^3} = 9$

(2) $\sqrt[10]{32} = \sqrt[10]{2^5} = 2^{\frac{5}{10}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

(3) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{3}{2}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} \times (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} \times 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^2 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32$

(4) $(3^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 3^1 = 3$

(5) $\sqrt[3]{5} \div \sqrt[12]{5} \times \sqrt[8]{25} = 5^{\frac{1}{3}} \div 5^{\frac{1}{12}} \times (5^2)^{\frac{1}{8}} = 5^{\frac{1}{3}} \div 5^{\frac{1}{12}} \times 5^{\frac{2}{8}} = 5^{\frac{1}{3} - \frac{1}{12} + \frac{1}{4}} = 5^{\frac{4}{12} - \frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = 5^{\frac{6}{12}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

(6) $\log_3 4 + \log_3 18 - 3\log_3 2 = \log_3 4 + \log_3 18 - \log_3 2^3 = \log_3 4 + \log_3 18 - \log_3 8 = \log_3 \frac{4 \times 18}{8} = \log_3 \frac{72}{8} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(7) $\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{\log_2 2^4}{\log_2 2^3} = \frac{4}{3}$

(8) $\log_4 3 \cdot \log_3 32 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} \cdot \frac{\log_2 32}{\log_2 3} = \frac{\log_2 3}{2} \cdot \frac{5}{\log_2 3} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) $\sqrt{2}$

(3) 32

(4) 3

(5) $\sqrt{5}$

(6) 2

(7) $\frac{4}{3}$

(8) $\frac{5}{2}$