次の方程式を解く問題です。 (1) $3^{3x-1} = 81$ (2) $\log_{\frac{1}{2}}x = 5$ (3) $\log_5(2x-1) + \log_5(x-2) = 1$ (4) $4^x + 2^{x+1} - 24 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $3^{3x-1} = 81$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}x = 5$

(3) $\log_5(2x-1) + \log_5(x-2) = 1$

(4) $4^x + 2^{x+1} - 24 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $3^{3x-1} = 81$

81を3の累乗で表すと、$81 = 3^4$。

したがって、$3^{3x-1} = 3^4$。

指数部分を比較して、$3x-1 = 4$。

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

(2) $\log_{\frac{1}{2}}x = 5$

対数の定義より、$x = (\frac{1}{2})^5$

$x = \frac{1}{2^5}$

$x = \frac{1}{32}$

(3) $\log_5(2x-1) + \log_5(x-2) = 1$

対数の性質より、$\log_5(2x-1)(x-2) = 1$

$(2x-1)(x-2) = 5^1$

$2x^2 - 4x - x + 2 = 5$

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

$(2x+1)(x-3) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, 3$

ただし、対数の真数は正である必要があるため、

$2x-1 > 0$ かつ $x-2 > 0$

$x > \frac{1}{2}$ かつ $x > 2$

したがって、$x > 2$を満たす必要がある。

$x = 3$のみが条件を満たす。

(4) $4^x + 2^{x+1} - 24 = 0$

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 24 = 0$

$2^x = t$とおくと、$t^2 + 2t - 24 = 0$

$(t+6)(t-4) = 0$

$t = -6, 4$

$2^x = -6$または$2^x = 4$

$2^x = -6$は解を持たない。

$2^x = 4 = 2^2$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{5}{3}$

(2) $x = \frac{1}{32}$

(3) $x = 3$

(4) $x = 2$