4次の正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた項の係数につける符号を求める問題です。具体的には、以下の3つの項について考えます。 (1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ (2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ (3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

1. 問題の内容

4次の正方行列 $A = [a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた項の係数につける符号を求める問題です。具体的には、以下の3つの項について考えます。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

2. 解き方の手順

行列式の各項の符号は、行番号と列番号の置換の符号によって決定されます。行番号は常に1, 2, 3, 4の順に並んでいるので、列番号の置換の符号を考えます。置換の符号は、互換の回数が偶数なら正、奇数なら負です。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$ の場合、列番号の置換は (3 2 4 1) です。これを基本順序 (1 2 3 4) に戻す互換の回数を数えます。

(3 2 4 1) -> (3 2 1 4) -> (3 1 2 4) -> (1 3 2 4) -> (1 3 4 2) -> (1 2 4 3) -> (1 2 3 4)

互換の回数は6回なので、符号は正（+）です。

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$ の場合、列番号の置換は (2 3 1 4) です。これを基本順序 (1 2 3 4) に戻す互換の回数を数えます。

(2 3 1 4) -> (2 1 3 4) -> (1 2 3 4)

互換の回数は2回なので、符号は正（+）です。

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$ の場合、列番号の置換は (2 4 1 3) です。これを基本順序 (1 2 3 4) に戻す互換の回数を数えます。

(2 4 1 3) -> (2 1 4 3) -> (1 2 4 3) -> (1 2 3 4)

互換の回数は3回なので、符号は負（-）です。

3. 最終的な答え

(1) +

(2) +

(3) -