(I) (1) 命題「$n^2 + n$ と $2n$ はともに4の倍数である」の否定命題を作れ。 (2) 命題「$2n^2 + 1$ は3の倍数ではない、または、$n \ge 7$ が成り立つ」の否定命題を作れ。 (3) (2)で答えた否定命題を満たすような正の整数$n$をすべて求めよ。 (II) $N$ を正の整数全体の集合とし、$R_{>0}$ を正の実数全体の集合とする。写像 $f: N \rightarrow R_{>0}$ を $f(n) = \sqrt{n}$ ($n \in N$) で定める。 (1) 次の集合に含まれる元の個数を求めよ。 (a) $\{ n \in N | f(n) = 2\sqrt{3} \}$ (b) $\{ n \in N | f(n) = \frac{1}{2} \}$ (2) 写像 $f$ は全単射であるか、全射でないが単射であるか、単射でないが全射であるか、全射でも単射でもないか答えよ。

1. 問題の内容

(I)

(1) 命題「$n^2 + n$ と $2n$ はともに4の倍数である」の否定命題を作れ。

(2) 命題「$2n^2 + 1$ は3の倍数ではない、または、$n \ge 7$ が成り立つ」の否定命題を作れ。

(3) (2)で答えた否定命題を満たすような正の整数$n$をすべて求めよ。

(II)

$N$ を正の整数全体の集合とし、$R_{>0}$ を正の実数全体の集合とする。写像 $f: N \rightarrow R_{>0}$ を $f(n) = \sqrt{n}$ ($n \in N$) で定める。

(1) 次の集合に含まれる元の個数を求めよ。

(a) $\{ n \in N | f(n) = 2\sqrt{3} \}$

(b) $\{ n \in N | f(n) = \frac{1}{2} \}$

(2) 写像 $f$ は全単射であるか、全射でないが単射であるか、単射でないが全射であるか、全射でも単射でもないか答えよ。

2. 解き方の手順

(I)

(1) 命題「$P$ かつ $Q$」の否定は「$\neg P$ または $\neg Q$」である。

$P$: $n^2+n$ は4の倍数である。

$Q$: $2n$ は4の倍数である。

$\neg P$: $n^2+n$ は4の倍数ではない。

$\neg Q$: $2n$ は4の倍数ではない。

よって否定命題は「$n^2+n$ は4の倍数ではない、または、$2n$ は4の倍数ではない」。

(2) 命題「$P$ または $Q$」の否定は「$\neg P$ かつ $\neg Q$」である。

$P$: $2n^2+1$ は3の倍数ではない。

$Q$: $n \ge 7$ が成り立つ。

$\neg P$: $2n^2+1$ は3の倍数である。

$\neg Q$: $n < 7$ が成り立つ。

よって否定命題は「$2n^2+1$ は3の倍数であり、かつ、$n < 7$ が成り立つ」。

(3) (2)の否定命題は「$2n^2+1$ は3の倍数であり、かつ、$n < 7$ が成り立つ」。

$n$ は正の整数なので、$n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ である。

$n=1$ のとき、$2n^2+1 = 2(1)^2+1 = 3$ なので3の倍数である。

$n=2$ のとき、$2n^2+1 = 2(2)^2+1 = 9$ なので3の倍数である。

$n=3$ のとき、$2n^2+1 = 2(3)^2+1 = 19$ なので3の倍数ではない。

$n=4$ のとき、$2n^2+1 = 2(4)^2+1 = 33$ なので3の倍数である。

$n=5$ のとき、$2n^2+1 = 2(5)^2+1 = 51$ なので3の倍数である。

$n=6$ のとき、$2n^2+1 = 2(6)^2+1 = 73$ なので3の倍数ではない。

したがって、$2n^2+1$ が3の倍数であり、かつ $n < 7$ を満たす $n$ は $1, 2, 4, 5$ である。

(II)

(1) (a) $f(n) = \sqrt{n} = 2\sqrt{3}$

$n = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$n=12$ は正の整数なので、$\{ n \in N | f(n) = 2\sqrt{3} \} = \{12\}$ である。

よって、集合に含まれる元の個数は1個である。

(b) $f(n) = \sqrt{n} = \frac{1}{2}$

$n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$n = \frac{1}{4}$ は正の整数ではないので、$f(n) = \frac{1}{2}$ となる正の整数 $n$ は存在しない。

よって、集合に含まれる元の個数は0個である。

(2) $f(n) = \sqrt{n}$

$f(n)$ は単射である。なぜなら、$f(n_1) = f(n_2)$ ならば $\sqrt{n_1} = \sqrt{n_2}$ より $n_1 = n_2$ となるからである。

$f(n)$ は全射ではない。なぜなら、$R_{>0}$ の任意の元 $y$ に対して、$y = \sqrt{n}$ となる $n \in N$ が存在するとは限らないからである。例えば、$y = \frac{1}{2}$ とすると、$n = \frac{1}{4}$ となるが、$n \notin N$ である。

よって、写像 $f$ は全射でないが単射である。

3. 最終的な答え

(I)

(1) $n^2+n$ は4の倍数ではない、または、$2n$ は4の倍数ではない。

(2) $2n^2+1$ は3の倍数であり、かつ、$n < 7$ が成り立つ。

(3) $1, 2, 4, 5$

(II)

(1) (a) 1個 (b) 0個

(2) 全射でないが単射である。