与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{12}{5\sqrt{6}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$ (3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (4) $\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{12}{5\sqrt{6}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(4) $\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の$\sqrt{6}$を消すために、分子と分母に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{5\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{5 \times 6} = \frac{12\sqrt{6}}{30} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) 分母の$\sqrt{5}+2$を消すために、分子と分母に$\sqrt{5}-2$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \frac{\sqrt{5}-2}{1} = \sqrt{5}-2$

(3) 分母の$\sqrt{5}-\sqrt{3}$を消すために、分子と分母に$\sqrt{5}+\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(4) 分母の$2\sqrt{3}+3$を消すために、分子と分母に$2\sqrt{3}-3$をかけます。

$\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3} = \frac{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}-3)}{(2\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}-3)} = \frac{(2\sqrt{3}-3)^2}{(2\sqrt{3})^2-3^2} = \frac{(2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3) + 3^2}{4 \times 3 - 9} = \frac{12-12\sqrt{3}+9}{12-9} = \frac{21-12\sqrt{3}}{3} = 7-4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\sqrt{5}-2$

(3) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(4) $7-4\sqrt{3}$