2次正方行列 $A$ による線形変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ がある。$xy$ 平面上の点 $(1, 0)$ が $(5, 7)$ に、$ (0, 1)$ が $(8, 11)$ に移される。以下の問いに答えよ。 (1) 行列 $A$ を求めよ。 (2) $xy$ 平面上の点 $(2, 1)$ が線形変換 $f_A$ により移される点を求めよ。 (3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。 (4) 線形変換 $f_A$ により点 $(1, 2)$ に移される $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ を求めよ。 (5) 2次正方行列 $B$ による線形変換 $f_B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ があり、$xy$ 平面上の点 $(1, 0)$ が $(a, b)$ に、$ (0, 1)$ が $(c, d)$ に移されるとする。2次正方行列 $C$ による線形変換 $f_C: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は、まず線形変換 $f_A$ を行い、さらに線形変換 $f_B$ を行う変換とする。行列 $C$ の行列式 $\det C$ を $a, b, c, d$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ による線形変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ がある。$xy$ 平面上の点 $(1, 0)$ が $(5, 7)$ に、$(0, 1)$ が $(8, 11)$ に移される。以下の問いに答えよ。

(1) 行列 $A$ を求めよ。

(2) $xy$ 平面上の点 $(2, 1)$ が線形変換 $f_A$ により移される点を求めよ。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

(4) 線形変換 $f_A$ により点 $(1, 2)$ に移される $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ を求めよ。

(5) 2次正方行列 $B$ による線形変換 $f_B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ があり、$xy$ 平面上の点 $(1, 0)$ が $(a, b)$ に、$(0, 1)$ が $(c, d)$ に移されるとする。2次正方行列 $C$ による線形変換 $f_C: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は、まず線形変換 $f_A$ を行い、さらに線形変換 $f_B$ を行う変換とする。行列 $C$ の行列式 $\det C$ を $a, b, c, d$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 線形変換 $f_A$ は、基本ベクトル $(1, 0)$ と $(0, 1)$ の行き先が決まれば一意に定まる。$(1, 0)$ が $(5, 7)$ に、$(0, 1)$ が $(8, 11)$ に移るので、行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$

(2) 点 $(2, 1)$ が $f_A$ で移される点は、

$\begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \times 2 + 8 \times 1 \\ 7 \times 2 + 11 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 25 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の逆行列は、$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ である。

行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$ の場合、$ad - bc = 5 \times 11 - 8 \times 7 = 55 - 56 = -1$ であるから、

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 11 & -8 \\ -7 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 7 & -5 \end{pmatrix}$

(4) 線形変換 $f_A$ によって $(x, y)$ が $(1, 2)$ に移されるとき、

$\begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

であるから、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 7 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \times 1 + 8 \times 2 \\ 7 \times 1 - 5 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$

(5) 行列 $B = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ である。線形変換 $f_C$ は $f_A$ を行った後 $f_B$ を行うので、$C = BA$ である。

$\det C = \det (BA) = \det B \det A = (ad - bc)(55 - 56) = (ad - bc)(-1) = bc - ad$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 11 \end{pmatrix}$

(2) $(18, 25)$

(3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 8 \\ 7 & -5 \end{pmatrix}$

(4) $(5, -3)$

(5) $bc - ad$