行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列 $A^T A$ が定義されるかどうかを判定し、定義される場合にはその値を計算する。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列 $A^T A$ が定義されるかどうかを判定し、定義される場合にはその値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$A^T$ (Aの転置行列) を計算する。$A^T$ は $A$ の行と列を入れ替えた行列であるから、

$A^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

となる。

次に、$A^T A$ を計算する。$A^T$ は $3 \times 2$ 行列、$A$ は $2 \times 3$ 行列であるから、$A^T A$ は $3 \times 3$ 行列になる。

$A^T A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-2) + (1)(1) & (-2)(2) + (1)(-1) & (-2)(-3) + (1)(2) \\ (2)(-2) + (-1)(1) & (2)(2) + (-1)(-1) & (2)(-3) + (-1)(2) \\ (-3)(-2) + (2)(1) & (-3)(2) + (2)(-1) & (-3)(-3) + (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 1 & -4 - 1 & 6 + 2 \\ -4 - 1 & 4 + 1 & -6 - 2 \\ 6 + 2 & -6 - 2 & 9 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 8 \\ -5 & 5 & -8 \\ 8 & -8 & 13 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^T A = \begin{pmatrix} 5 & -5 & 8 \\ -5 & 5 & -8 \\ 8 & -8 & 13 \end{pmatrix}$