与えられた連立漸化式を行列で表現し、その行列の固有値を求め、対角化に必要な行列 $P$ を求め、最後に連立漸化式の一般項 $(x_n, y_n)$ を求める問題です。 連立漸化式は次の通りです。 $x_{n+1} = 4x_n - 2y_n, \quad x_1 = 1$ $y_{n+1} = -2x_n + 4y_n, \quad y_1 = -1$

1. 問題の内容

与えられた連立漸化式を行列で表現し、その行列の固有値を求め、対角化に必要な行列 $P$ を求め、最後に連立漸化式の一般項 $(x_n, y_n)$ を求める問題です。

連立漸化式は次の通りです。

$x_{n+1} = 4x_n - 2y_n, \quad x_1 = 1$

$y_{n+1} = -2x_n + 4y_n, \quad y_1 = -1$

2. 解き方の手順

(1) 連立漸化式を行列表記で表し、固有値を求める。

連立漸化式は次のように行列表記できます。

$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値を求めます。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ なので、

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 \\ -2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)^2 - (-2)^2 = \lambda^2 - 8\lambda + 16 - 4 = \lambda^2 - 8\lambda + 12 = (\lambda - 6)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 6$ と $\lambda_2 = 2$ です。

(2) 行列 $A$ を対角化する行列 $P$ を求める。ただし、$P^{-1} = {}^t P$ とする。

$\lambda_1 = 6$ に対する固有ベクトルを求めます。

$(A - 6I) \vec{v_1} = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x - 2y = 0 \Rightarrow x = -y$

固有ベクトルは $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ など。

正規化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$ に対する固有ベクトルを求めます。

$(A - 2I) \vec{v_2} = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 2y = 0 \Rightarrow x = y$

固有ベクトルは $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ など。

正規化すると $\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1} = {}^t P$ が成り立ちます。

(3) 連立漸化式の一般項 $(x_n, y_n)$ を求める。

$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ より、

$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = A^{n-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$

$A = PDP^{-1}$ (ただし、$D = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ )

$A^{n-1} = PD^{n-1}P^{-1}$

$D^{n-1} = \begin{pmatrix} 6^{n-1} & 0 \\ 0 & 2^{n-1} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6^{n-1} & 0 \\ 0 & 2^{n-1} \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6^{n-1} + 2^{n-1} & -6^{n-1} + 2^{n-1} \\ -6^{n-1} + 2^{n-1} & 6^{n-1} + 2^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \cdot 6^{n-1} \\ -2 \cdot 2^{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6^{n-1} \\ -2^{n-1} \end{pmatrix}$

よって、$x_n = 6^{n-1}$、$y_n = -2^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) 行列表記: $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$、固有値: $\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 2$

(2) $P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $x_n = 6^{n-1}, y_n = -2^{n-1}$