$\frac{3}{\sqrt{7}-1}$ の分母を有理化する問題で、$\frac{3 \times (\sqrt{7} ア 1)}{(\sqrt{7}-1) \times (\sqrt{7} ア 1)} = \frac{\sqrt{7} ア 1}{イ}$ となる。アに入る符号とイに入る数字を求める。

1. 問題の内容

$\frac{3}{\sqrt{7}-1}$ の分母を有理化する問題で、$\frac{3 \times (\sqrt{7} ア 1)}{(\sqrt{7}-1) \times (\sqrt{7} ア 1)} = \frac{\sqrt{7} ア 1}{イ}$ となる。アに入る符号とイに入る数字を求める。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{7}+1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}$

分母を計算します。$(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)$ は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用できます。

$(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1) = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6$

分子を計算します。

$3(\sqrt{7}+1) = 3\sqrt{7} + 3$

したがって、

$\frac{3(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{3\sqrt{7}+3}{6} = \frac{3(\sqrt{7}+1)}{6}$

さらに、分子と分母を3で割って簡略化します。

$\frac{3(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2}$

問題文より、$\frac{3 \times (\sqrt{7} ア 1)}{(\sqrt{7}-1) \times (\sqrt{7} ア 1)} = \frac{\sqrt{7} ア 1}{イ}$ となるとあるので、アには $+$ の符号が入り、イには $2$ が入る。

3. 最終的な答え

アに入る符号：+

イに入る数字：2