第4項が-24, 第7項が192である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。また、この数列の初項から第10項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

第4項が-24, 第7項が192である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。また、この数列の初項から第10項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。

問題文より、

$a_4 = ar^3 = -24$ (1)

$a_7 = ar^6 = 192$ (2)

である。

(2)を(1)で割ると、

$\frac{ar^6}{ar^3} = \frac{192}{-24}$

$r^3 = -8$

$r = -2$

これを(1)に代入すると、

$a(-2)^3 = -24$

$-8a = -24$

$a = 3$

したがって、一般項は

$a_n = 3(-2)^{n-1}$

次に、初項から第10項までの和 $S_{10}$ を求める。

等比数列の和の公式は

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

である。

これに $a=3$, $r=-2$, $n=10$ を代入すると、

$S_{10} = \frac{3(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}$

$S_{10} = \frac{3(1-1024)}{3}$

$S_{10} = 1-1024$

$S_{10} = -1023$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = 3(-2)^{n-1}$

初項から第10項までの和: $-1023$