第4項が8、第7項が17である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、さらに初項から第100項までの和を求めます。

1. 問題の内容

第4項が8、第7項が17である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、さらに初項から第100項までの和を求めます。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とします。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、第4項が8、第7項が17なので、以下の2つの式が成り立ちます。

$a_4 = a + 3d = 8$

$a_7 = a + 6d = 17$

この連立方程式を解いて、$a$ と $d$ の値を求めます。

2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$(a + 6d) - (a + 3d) = 17 - 8$

$3d = 9$

$d = 3$

$d=3$ を $a + 3d = 8$ に代入すると、

$a + 3(3) = 8$

$a + 9 = 8$

$a = -1$

したがって、初項 $a = -1$、公差 $d = 3$ であることがわかりました。

一般項 $a_n$ は、

$a_n = a + (n-1)d = -1 + (n-1)3 = -1 + 3n - 3 = 3n - 4$

次に、初項から第100項までの和 $S_{100}$ を求めます。等差数列の和の公式は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

$a_1 = -1$ であり、$a_{100} = 3(100) - 4 = 300 - 4 = 296$ であるため、

$S_{100} = \frac{100}{2}(-1 + 296) = 50(295) = 14750$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = 3n - 4$

初項から第100項までの和: $14750$