数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3^n - 1$ で表されるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3^n - 1$ で表されるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求める基本的な考え方として、$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つことを利用します。また、$a_1 = S_1$ であることも利用します。

まず、$n \geq 2$ のとき、一般項 $a_n$ は次のように計算できます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3^n - 1) - (2(n-1)^2 + 3^{n-1} - 1)$

$= 2n^2 + 3^n - 1 - (2(n^2 - 2n + 1) + 3^{n-1} - 1)$

$= 2n^2 + 3^n - 1 - (2n^2 - 4n + 2 + 3^{n-1} - 1)$

$= 2n^2 + 3^n - 1 - 2n^2 + 4n - 2 - 3^{n-1} + 1$

$= 3^n - 3^{n-1} + 4n - 2$

$= 3^{n-1}(3 - 1) + 4n - 2$

$= 2 \cdot 3^{n-1} + 4n - 2$

次に、$a_1$ を計算します。

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3^1 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4$

ここで、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 4n - 2$ に $n=1$ を代入すると、

$a_1 = 2 \cdot 3^{1-1} + 4(1) - 2 = 2 \cdot 3^0 + 4 - 2 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$ となり、一致します。

したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 4n - 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} + 4n - 2$