与えられた数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。数列は2つあります。 (1) 3, 4, 7, 12, 19, 28, ... (2) -2, -4, 0, -8, 8, -24, ...

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。数列は2つあります。

(1) 3, 4, 7, 12, 19, 28, ...

(2) -2, -4, 0, -8, 8, -24, ...

2. 解き方の手順

(1) の場合

階差数列を求めることを考えます。

元の数列を $\{a_n\}$、階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_n = a_{n+1} - a_n$ となります。

$a_n$: 3, 4, 7, 12, 19, 28, ...

$b_n$: 1, 3, 5, 7, 9, ...

階差数列 $\{b_n\}$ は初項1、公差2の等差数列なので、

$b_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$= 3 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$= 3 + n(n-1) - (n-1) = 3 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 4$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3$ なので、

$a_n = n^2 - 2n + 4$ は $n=1$ のときも成立します。

(2) の場合

階差数列を求めることを考えます。

元の数列を $\{a_n\}$、階差数列を $\{b_n\}$ とすると、

$b_n = a_{n+1} - a_n$ となります。

$a_n$: -2, -4, 0, -8, 8, -24, ...

$b_n$: -2, 4, -8, 16, -32, ...

階差数列 $\{b_n\}$ は初項-2、公比-2の等比数列なので、

$b_n = -2 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = -2 + \sum_{k=1}^{n-1} (-2)^k$

$= -2 + \frac{-2(1 - (-2)^{n-1})}{1 - (-2)} = -2 + \frac{-2(1 - (-2)^{n-1})}{3}$

$= -2 - \frac{2}{3}(1 - (-2)^{n-1}) = -2 - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} (-2)^{n-1}$

$= -\frac{8}{3} + \frac{1}{3} (-2)^n$

$n=1$ のとき $a_1 = -\frac{8}{3} + \frac{1}{3} (-2)^1 = -\frac{8}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{10}{3} \ne -2$ なので、場合分けが必要です。

$a_1 = -2$, $a_n = -\frac{8}{3} + \frac{1}{3} (-2)^n$ ($n \ge 2$)

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 4$

(2) $a_1 = -2$, $a_n = -\frac{8}{3} + \frac{1}{3} (-2)^n$ ($n \ge 2$)

または

$a_n = \frac{(-2)^n - 8}{3} \quad (n \ge 2)$

$a_1 = -2$