与えられた2変数多項式 $6x^2 - 7xy - 3y^2 + 17x + 2y + 5$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $6x^2 - 7xy - 3y^2 + 17x + 2y + 5$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた多項式を$x$について整理します。

$6x^2 - 7xy + 17x - 3y^2 + 2y + 5$

$= 6x^2 + (-7y + 17)x + (-3y^2 + 2y + 5)$

次に、定数項$-3y^2 + 2y + 5$を因数分解します。

$-3y^2 + 2y + 5 = -(3y^2 - 2y - 5) = -(3y - 5)(y + 1) = (5 - 3y)(y+1)$

したがって、与式は以下のように書けます。

$6x^2 + (-7y + 17)x + (5 - 3y)(y + 1)$

この式を因数分解できると仮定すると、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

の形になるはずです。ここで、$ad = 6$, $be = -3$, $cf = 5$ となる必要があります。

$ad=6$ より、$(a, d) = (2, 3)$ または $(3, 2)$ または $(6, 1)$ または $(1, 6)$ 等が考えられます。

$be=-3$ より、$(b, e) = (1, -3)$ または $(-1, 3)$ または $(3, -1)$ または $(-3, 1)$ 等が考えられます。

$cf=5$ より、$(c, f) = (1, 5)$ または $(5, 1)$ または $(-1, -5)$ または $(-5, -1)$ 等が考えられます。

様々な組み合わせを試していくと、以下の組み合わせで与式を因数分解できることがわかります。

$(2x - 3y + 5)(3x + y + 1)$

実際に展開してみると、

$(2x - 3y + 5)(3x + y + 1) = 6x^2 + 2xy + 2x - 9xy - 3y^2 - 3y + 15x + 5y + 5 = 6x^2 - 7xy - 3y^2 + 17x + 2y + 5$

となり、与式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x - 3y + 5)(3x + y + 1)$