$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ の値を求める。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\cos \alpha < 0$ であるから、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\sin 2\alpha$ の値を求める。2倍角の公式より、

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

最後に、$\cos 2\alpha$ の値を求める。2倍角の公式より、

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

$\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$