2次正方行列 $A$ による一次変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ によって、xy平面上の点 $(1, 0)$ が $(1, 3)$ に、点 $(0, 1)$ が $(2, 5)$ に移される。このとき、一次変換 $f_A$ によって点 $(2, 3)$ に移される xy 平面上の点を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ による一次変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ によって、xy平面上の点 $(1, 0)$ が $(1, 3)$ に、点 $(0, 1)$ が $(2, 5)$ に移される。このとき、一次変換 $f_A$ によって点 $(2, 3)$ に移される xy 平面上の点を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) より、行列 $A$ は

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}

$$

である。

一次変換 $f_A$ によって点 $(x, y)$ が点 $(2, 3)$ に移されるとする。

すると、

$$

A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

が成り立つ。すなわち、

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

これを解くために、行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。(3) より、

$$

A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

$$

したがって、

$$

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

よって、求める点は $(-4, 3)$ である。

3. 最終的な答え

$(-4, 3)$